Ответы на вопрос:
а⁴ + b⁴ ≥ а³b + аb³
1)
а⁴ + b⁴ - а³b - аb³ ≥ 0
а³(а-b) - b³(а-b) ≥ 0
(а-b)(а³-b³) ≥0
(а-b)(а-b)(а²+аb+b²) ≥0
(а-b)²·(а²+аb+b²) ≥0
2)
первая скобка всегда больше или равна 0, остаётся доказать, что вторая скобка тоже всегда больше или равна 0.
а²+аb+b² ≥0
a) докажем для неотрицательных a и b.
(a²+ab+ab+b²)-ab ≥ 0
(a² + 2ab + b²) ≥ ab
(a+b)² ≥ ab
а+b ≥ √аb
это неравенство справедливо как следствие из теоремы коши для среднего арифметического и среднего :
(а+b)/2 ≥ √аb
таким образом, всегда справедливо неравенство во второй скобке
(a²+ab+b²) ≥ 0.
2) докажем справедливость неравенства (a²+ab+b²) > 0 для отрицательных значений a и b.
a< 0; b< 0
a²> 0; b²> 0 - первое и третье слагаемые a² и b² всегда положительны
ab> 0, как произведение двух отрицательных(минус × минус = плюс)
сумма положительных слагаемых тоже положительна:
(a²+ab+b²) > 0
3) докажем справедливость неравенства (a²+ab+b²) > 0 для значений a и b, различных по знаку: a> 0; b< 0.
(a²+ab+ab+b²)-ab > 0
(a² + 2ab + b²) > ab
(a+b)² > ab
это неравенство справедливо, т.к.
(a+b)² ≥ 0
ab < 0 (плюс × минус = минус)
положительное число больше отрицательного.
таким образом все три варианта доказывают справедливость неравенства
(а²+ab+b²)≥0. что и требовалось доказать.
Популярно: Алгебра
-
cat000000007.12.2020 22:16
-
Tanya616415.03.2022 20:55
-
Божа04.11.2021 23:00
-
lol271004.10.2021 01:37
-
карина195812.03.2020 05:31
-
egorka22a13.03.2020 05:01
-
tashkaostrovska16.07.2020 20:45
-
hockeymen22830.04.2023 09:38
-
Privet3452205.06.2022 14:32
-
Isma2412.06.2023 20:06