На доске написаны пять натуральных чисел. оказалось, что сумма любых трёх из них делится на каждое из остальных. обязательно ли среди этих чисел найдётся четыре равных?

200

216

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Doxlaz

Математика

4,4(68 оценок)

Берём сначала три числа 1,2,3 - сумма любых двух делится на третье. добавляем к ним четвёртое число, равное их сумме. 1, 2,3,6. точно так же можно построить 5, 6, ..n чисел, что сумма любых (n-1) делится на оставшееся. действительно, если n-1 чисел, свойством, что любая сумма без одного делится на это одно, то добавляем a_n= сумме всех a_k. тогда сумма всех без последнего равна последнему, делится на него. сумма всех без какого-то a_k =ak=a_1+a_2+..+a_n-a_k=a_1+a_2+..+a_(n-1)+a_1+a_2+..+a_(n-1)-ak= =2*(сумма первых (n-1) без а_k)+a_k так как (сумма первых (n-1) без а_k) делится на a_k, a_k делится на a_k, то и cумма всех без какого-то a_k делится на a_k