Верно ли , что уравнение |x-2|+|x-5|=3 имеет бесконечно много корней?

116

446

Посмотреть ответы 3

Ответы на вопрос:

anastasiyaryum1

Математика

4,4(57 оценок)

Нет, не верно. рассмотрим уравнение. 1) находим нули подмодульных выражений. x-2=0 x-5=0 x=2 x=5 2) отмечаем эти точки на координатной оси. получаем отрезки (-бесконечность; 2); [2; 5]; (5; + бесконечность) 3) решаем уравнения. рассмотрим три случая. х равен числу из отрезка (-бесконечность; 2). подставляя из этого отрезка любое число в исходное уравнение, видим, что под первым модулем и вторым тоже число получится отрицательным (например 1-2 = -1). значит, наше уравнение приобретает вид 2 - х + 5 - х = 3 7 - 2х = 3, откуда легко находим х=2, но число 2 не входит в наш промежуток. второй случай отрезок [2; 5]. в первом модуле число будет положительным, во втором - отрицательным (возьмем например 3 -1 и 3 - 5). значит наше уравнение приобретает вид х - 2 + 5 - х = 3 иксы уничтожаются, как противоположные по знаку, остается 3 = 3, т.е. любой х из интервала [2; 5] является корнем уравнения. третий случай отрезок (5; + бесконечность). оба модуля положительные. уравнение будет вида х - 2 + х - 5 = 3 откуда находим х = 5, но 5 не входит в наш интервал. получается, что корней уранения много, но все же их конечное количество и все они лежат в интервале от 2 до пяти включительно [2; 5 ]