Алгебра: Решить тригонометрическое уравнение sin3x=cosx

ппп278

03.06.2023 03:34

Алгебра

Есть ответ 👍

Решить тригонометрическое уравнение sin3x=cosx

209

324

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Darynaost

Алгебра

4,5(31 оценок)

Sin3x = 3sinx - 4sin³x => 3sinx - 4sin³x = cos(x) поделим на cos(x), не равный 0, т. к. при cos(x) = 0 уравнение решений не имеет (3-4< > 0): 3tg(x) - 4sin^2(x)*tg(x) = 1 sin^2(x) + cos^2(x) = 1, поэтому sin^2(x) = 1 - cos^2(x). - 4sin^2(x) = 4cos^2(x)-4. 3tg(x) + (4cos^2(x)-4)*tg(x) = 1 3tg(x) + 4cos^2(x)*tg(x)-4*tg(x) = 1 обозначение: m = tg(x). 3m + 4cos^2(x)*m-4m = 1 4cos^2(x)*m - m = 1 4m/(1+m*m) - m - 1 = 0 (4m - (m+1)(1+m*m))/(1+m*m) = 0 4m - (m+1)(1+m*m) = 0 4m - (m + mmm + 1 + mm) = 0 (m + mmm + 1 + mm) - 4m = 0 mmm + mm - 3m + 1= 0 по теореме безу, при m = 1 этот многочлен делится на m - 1 без остачи. теперь этот многочлен можно разложить на множители: (mm+2m-1)(m-1) = 0. решая это уравнение методом интервалов, найдем, что: m = 1, m = +- sqrt(2). вернемся к x: tg(x) = 1 => x = p/4 + pn, tg(x) = -1 +- sqrt(2) => x = arctg(-1 +- sqrt(2)) + pn. ответ: x e {p/4 + pn; arctg(-1 + sqrt(2)) + pn; arctg(-1 - sqrt(2)) + pn}.