Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из ряда 1,2,…,1447 так, чтобы любая сумма трёх различных выбранных чисел не была выбранным числом?

227

248

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

svetasvetlana7

Математика

4,5(50 оценок)

Число 1474 имеет вид 3k+1. проведем рассуждение для этого общего случая. если оставить все числа от k до 3k+1 включительно, то есть 2k+2 числа, то сумма трех наименьших составит k+(k+1)+(k+2) > 3k+1. получается, что сумма дизайнер трех различных чисел превышает четвертое. покажем, что 2k+3 числа и более оставить уже нельзя. рассуждая от противного, обозначим через a наименьшее из оставленных чисел. ясно, что a< =k-1. следующее по величине оставленное число b не превосходит k. поэтому a+b< =2k-1. будем рассматривать пары чисел (со значениями от 1 до 3k+1), в которых разность большего и меньшего составляет a+b. это пары 1 и a+b+1, 2 и a+b+2, , 3k+1-(a+b) и 3k+1. их количество равно 3k+1-(a+b)> =k+2. среди них могут быть две пары, в которых наименьшее число равно a или b. их учитывать не будем. останется > =k пар чисел вида c и c+a+b, где a, b, c попарно различн ясно, что вместе с числами a, b, которые в нас уже принять, оба числа из одной пары присутствовать не могут. тем самым, в каждой из k пар хотя бы одно число не взято, и всего взято по меньшей мере k чисел. отсюда следует противоречие, так как получается, что взято не более 2k+1 числа, вопреки предположению