15. докажите тождество: sin4α + cos4α + 2sin2α ∙ cos2α = 1 16. докажите тождество: sin4α – cos4α + 2cos2α = 1.

238

268

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Brauberg898117

Математика

4,7(51 оценок)

При доказательстве любых тождеств, и в частности тригонометрических, обычно используют следующие способы: 1) выражение, стоящее и одной части равенства, с тождественных преобразований приводят к выражению, стоящему в другой части равенства; 2) выражения, стоящие в левой и правой частях тождества, с тождественных преобразований приводят к одному и тому же виду; 3) доказывают, что разность между левой и правой частями данного тождества равна нулю.поясним это на некоторых частных примерах.пример 1. доказать тождествоsin4α — cos4α = sin2 α — cos2 α .используя формулу для разности квадратов двух чисел, получаем: sin4α — cos4α = (sin2α + cos2α) (sin2α — cos2α).ho sin2α + cos2α = 1. поэтомуsin4α — cos4α = sin2α — cos2α, что и требовалось доказать. пример 2. доказать тождествоэто тождество мы будем доказывать путем преобразования выражения, стоящего в правой части.способ 1.поэтому способ 2. прежде всего заметим, что ctg α =/= 0; в противном случае не имело бы смысла выражение tg α = 1/ctg α. но если ctg α =/= 0, то числитель и знаменатель подкоренного выражения можно умножить на ctg α, не изменяя значения дроби. следовательно,используя тождества tg α • ctg α = 1 и 1+ ctg2α = cosec2 α , получаемпоэтому что и требовалось доказать.замечание. следует обратить внимание на то, что левая часть доказанного тождества (sin α) определена при всех значениях α, а правая — лишь при α =/= π/2 n.поэтому только при всех допустимых значениях α вообще же эти выражения не эквивалентны друг другу.пример 3. доказать тождествоsin (3/2 π + α ) + cos ( π - α ) = cos ( 2π + α ) - 3sin (π/2 - α )преобразуем левую и правую части этого тождества, используя формулы : sin (3/2 π + α ) + cos ( π - α ) = — cos α — cos α = — 2 cos α; cos ( 2π + α ) - 3sin (π/2 - α ) = cos α — 3 cos α = — 2 cos α.итак, выражения, стоящие в обеих частях данного тождества, к одному и тому же виду. тем самым тождество доказано.пример 4. доказать тождествоsin4 α + cos4 α — 1 = — 2 sin2α cos2α.покажем, что разность между левой и правой частями. данного тождества равна нулю. имеем: (sin4 α + cos4 α — 1) — (— 2 sin2α cos2α) = (sin4 α + 2sin2α cos2α + cos4 α) — 1 == (sin2α + cos2α)2 — 1 = 1 — 1 = 0.тем самым тождество доказано.пример 5. доказать тождество,это тождество можно рассматривать как пропорцию. но чтобы доказать справедливость пропорции a/b = c/d, достаточно показать, что произведение ее крайних членов ad равно произведению ее средних членов bc. так мы поступим и в данном случае. покажем, что (1 — sin α) (1+ sin α) = cos α • cos α.действительно, (1 — sin α) (1 + sin α) = 1 —sin2α = cos2α.по поводу этого примера можно было бы сделать замечание, аналогичное замечанию к примеру 2 както так: