Даны два квадратных трёхчлена p(x) и q(x) с целыми коэффициентами.докадите ,что существует многочлен r(x) с целыми коэффициентами,степень которого не превосходит 2, такой, что r(8)r(12)r(2017)=p(8)p(12)p(2017)q(2017)q(12)q(8)

215

304

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

alinarynkevich2007

Математика

4,6(90 оценок)

Попробуем поискать r(x) в виде r(x) = p(x) q(x) - s(x) (x - 8)(x - 12)(x - 2017). очевидно, r(8) = p(8) q(8), r(12) = p(12) q(12), r(2017) = p(2017) q(2017), поэтому r(8) r(12) r(2017) = p(8) p(12) p(2017) q(2017) q(12) q(8). осталось подобрать s(x) таким образом, чтобы r(x) был многочленом степени не выше второй. p(x) = ax^2 + bx + c q(x) = dx^2 + ex + f положим s(x) = gx + h, найдём g и h. p(x) q(x) - s(x) (x - 8)(x - 12)(x - 2017) = (ax^2 + bx + c)(dx^2 + ex + f) - (gx + h)(x - 8)(x - 12)(x - 2017) коэффициент при x^4: ad - g = 0 g = ad коэффициент при x^3: ae + bd - h - 8g - 12g - 2017g = 0 h = ae + bd - 2037g = ae + bd - 2037ad g и h получились целыми числами, значит, найденный r(x) удовлетоворяет условию.