На доске выписаны в ряд все натуральные числа от 1 до 2018. найдите среди них любые два, после стирания которых сумма всех чисел, стоящих между стертыми, оказаласб вдвое меньше суммы всех остальных не стёртых чисел.

157

368

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Котейко444

Алгебра

4,7(35 оценок)

Сумма всех чисел от 1 до 2018 s₀ = 2018*(1+2018)/2 = 2037171стираем числа m и n, так, что m< nсумма чисел между m и ns₁ = (n-m-1)*(m+1+n-1)/2 = (n-m-1)*(m+n)/2 и по условию эта сумма в два раза меньше оставшегося s₁ = 1/2 (s₀-s₁-m-n) 2s₁ = s₀-s₁-m-n 3s₁ = s₀-m-n 3s₁ = 2037171-m-n 3(n-m-1)*(m+n)/2 = 2037171-m-n 3(n-m-1)*(m+n) = 4074342-2m-2n 3(n-m-1)*(m+n) + 2(m+n)= 4074342 (3n-3m-3+2)*(m+n) = 4074342 (3n-3m-1)*(m+n) = 4074342 4074342 разложим на множители 4074342 = 2·3·673· 1009всего 16 вариантов, т.к. каждый простой делитель числа 4074342 должен входить либо в первый, либо во второй множитель. перечислим все 16 возможных произведений 1, 2, 3, 6, 673, 1009, 1346, 2018, 2019, 3027, 4038, 6054, 679057, 1358114, 2037171, 4074342 1) 3n-3m-1 = 1 m+n = 4074342 m-n = -2/3 //всё, дальше можно не считать, разность целых чисел не может быть дробью 2) 3n-3m-1 = 2 m+n = 2037171 n-m=1 m+n = 2037171 сложим 2n = 2037172 // слишком много, n≤2018 3) 3n-3m-1 = 3 n-m = 4/3 \\всё, следующий 4) 3n-3m-1 = 6 n-m = 7/3 \\дальше! 5) 3n-3m-1 = 673 n-m = 674/3 \\снова на 3 не делится, проехали 6)2018, 2019 3n-3m-1 = 1009 n-m = 1010/3 \\на 3 не делится 7) 3n-3m-1 = 1346 n-m = 1347/3 = 449 m+n = 3027 сложим 2n = 449+3027 n = 1738 m = 3027-1738 = 1289 \\есть первая пара! 8) 3n-3m-1 = 2018 n-m = 2019/3 = 673 m+n = 2019 складываем 2n = 2019+673 n = 1346 m = 2019-1346 = 673 //вторая пара 9) 3n-3m-1 = 2019 n-m = 2020/3 //не делится 10) 3n-3m-1 = 3027 n-m = 3028/3 //не делится 11) 3n-3m-1 = 4038 n-m = 4039/3 //не делится 12) 3n-3m-1 = 6054 n-m = 6055/3 //не делится 13) 3n-3m-1 = 679057 n-m = 679058/3 //не делится 14) 3n-3m-1 = 1358114 n-m = 1358115/3 = 452705 m+n = 3 складываем 2n = 3+452705 n = 226354 //всё, n должно быть меньше или равно 2018 15) 3n-3m-1 = 2037171 n-m = 2037172/3 //не делится 16) 3n-3m-1 = 4074342 n-m = 4074343/3 //не делится итого - две пары m=1289 n=1738 m=673 n=1346