Определите вид четырёхугольника abcd и напишите уравнение окружности вписанной в этот четырёхугольник если она существует, не используя построения abcd. a(1; 5) b(3; 1) c(1; -3) d(-1; 1)
225
245
Ответы на вопрос:
Даны вершины четырехугольника: a(1; 5), b(3; 1), c(1; -3) и d(-1; 1). сторона ав (модуль вектора): |ав|=√[(3-1)²+(1-5)²] =√(4+16)=√20. сторона dc: |dc|=√[())²+(-3-1)²]=√(4+16)=√20. противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны (по признаку - отношения их координат ав{2; -4} и dc{2; -4} равны: 2/2=-4/-4=1). если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм. чтобы в четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы он был выпуклым и имел равные суммы противоположных сторон. найдем стороны ad и вс (достаточно стороны ad, так как в параллелограмме противоположные стороны равны). |ad|= √[(-1-1))²+(1-5)²]=√(4+16)=√20. итак, наш четырехугольник ромб или квадрат (все стороны равны). следовательно, в него можно вписать окружность. уточним. если в ромбе один из углов прямой, то это квадрат. условие перпендикулярности векторов: векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: xa*xb + ya*yyb = 0 . у нас вектор ав{2; -4}, вектор вс{-2; -4}. тогда -4+16 не равно нулю. значит авсd - ромб. диаметр вписанной окружности - отрезок, равный расстоянию между противоположными сторонами. найдем расстояние от вершины в(3; 1) до прямой ad. уравнение прямой ad: (x-xa)/(xd-xa)=(y-ya)/(yd-ya) => (x-1)/(-2)=(y-5)/(-4) - каноническое уравнение. отсюда 2x-y+3=0 - общее уравнение с коэффициентами а=2, в=-1, с=3. искомое расстояние (по формуле): d=|a*xb+b*yb+c|/√(a²+b²) = |6+(-1)+3|/√5 =8/√5. это диаметр. радиус r=4/√5. центр (о) окружности расположен на середине любой из диагоналей ромба. например, на середине диагонали bd. найдем этот центр: о(1; 1) (как находить координаты середины отрезка, мы уже показали). тогда уравнение окружности (x-xc)²+(y-yc)²=r²: (x-1)²+(y-1)²=3,2.
трапеция авсд, параллелограмм квсд, вк=сд, кд=вс=6 периметр авк=ав+вк+ак=25 периметр авсд= ав+вс +сд (вк)+кд+ак = 25+вс+кд=25+6+6=37
Популярно: Геометрия
-
maksim555569565617.12.2022 03:17
-
ervinbek200513.12.2021 21:47
-
timkalo17.07.2022 08:44
-
Викитирон12.04.2022 03:12
-
Barsvtk17.03.2023 08:43
-
Сач1609.02.2020 13:52
-
тупая129411.02.2021 21:53
-
atopio19.06.2021 20:51
-
yadianamelnik07.02.2021 15:23
-
romasivtsov17.01.2022 08:46