Прямоугольный лист 210мм × 300мм требуется разрезать без остатка на прямоугольники одинакового размера, у которых длина будет вдвое больше ширина. какой может быть максимальная площадь одного такого прямоугольника? докажите , что она максимальна.pleas help

157

423

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

drazzgaming

Математика

4,7(23 оценок)

Пусть ширина искомого прямоугольника равна х мм (не обязательно целое). тогда его площадь равна 2х². таким образом, площадь будет максимальна, если х - максимально. так как длина в 2 раза больше ширины, то при любом разрезании удовлетворяющем условию, в исходный лист должно уложиться целое число квадратиков х×х (а значит х должно укладываться вдоль каждой стороны целое число раз), т.е. 297=nx и 210=mx, где n,m - натуральные. тогда x=297/n=210/m, откуда n=297m/210=99m/70. так как 99 и 70 - взаимно простые, то чтобы n было целым, m должно быть кратно 70. кроме того, чтобы х было максимальным n и m должны быть минимально возможными, т.е. m=70, n=99, x=3. т.е. имеем прямоугольники 3 мм × 6 мм площадью 18 мм². очевидно, что такое разрезание возможно: 35 прямоугольников 6×3 укладываем длинной стороной вдоль края листа длиной 210=6*35 мм. 99 таких рядов по 35 прямоугольников целый лист длиной 99*3=297 мм. итак, ответ: максимальная площадь у прямоугольника 3×6=18 мм².