Докажите, что если (a+b) делится на 9, a*b делится на 9, то: а) (а^2 + b^2) делится на 9; б) (а^3 + b^3) делится на 81; в) (а^3 + b^3) делится на 243.

173

384

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

mariella25

Математика

4,7(73 оценок)

Дано: (a + b) : 9 ab : 9 а) a² + b² = (a²+2ab+b²) - 2ab = (a+b)² - 2ab так как и уменьшаемое и вычитаемое делятся на 9, то их разность тоже делится на 9. б) a³ + b³ = (a+b)(a²-ab+b²) = (a+²+2ab+b²)-3ab) = = (a++b)²)-3ab) = (a+b)(a+b)² -3ab(a+b) = =(a+b)³ -3ab(a+b) так как каждый из двух множителей делится на 9, то произведение делится на 9·9 = 81. так как (a+b)³ трижды делится на 9, значит, оно делится и на 81; в выражении 3ab(a+b) по условию ab : 9 и (a+b) : 9 делится на 81, то и выражение 3ab(a+b) делится на 9·9=81. так как и уменьшаемое и вычитаемое делятся на 81, то их разность тоже делится на 81. в) a³ + b³ = (a+b)(a²-ab+b²) = (a+²+2ab+b²)-3ab) = = (a++b)²)-3ab) = (a+b)(a+b)² -3ab(a+b) = = (a+b)³ - 3ab(a+b) так как (a+b)³ трижды делится на 9, значит, оно делится и на 9·9·9=729, и на 9·9·3 = 243; в произведении 3ab(a+b) первый множитель 3 делится на 3; второй множитель ab : 9 по условию; третий множитель (a+b) : 9 по условию, значит, всё произведение 3ab(a+b) делится на 3 ·9·9 = 243. так как и уменьшаемое и вычитаемое делятся на 243, то их разность тоже делится на 243.