Докажите, что в произведении p=1! 2! 3! …27! 28! можно вычеркнуть один из сомножителей так, чтобы произведение оставшихся было полным квадратом.

236

293

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

АннаКольцева

Математика

4,8(8 оценок)

Подсчитаем, сколько раз входит каждое число от 2 до 100 в произведение. 2 входит во все факториалы, начиная со второго, т. е. 99 раз 3 входит во все факториалы, начиная с третьего, т. е. 98 раз n входит во все факториалы, начиная с n, т. е. 101 – n раз 1! *2! *3! * *100! = 2^99 * 3^98 * 4^97 * * 97^4 *98^3 *99^2 * 100. все нечётные числа входят в произведение чётное число раз, чётные — нечётное число раз. выделим из этого произведения произведение всех чётных чисел, взятых по одному разу: 1! *2! *3! * *100! = 2^99 * 3^98 * 4^97 * * 97^4 *98^3 *99^2 * 100= = (2^98 *3^98 * 4^96 * * 97^4 * 98^2 * 99^2) * (2 * 4 * 6 * *98 * 100). в первой скобке степени чётные, произведение этих чисел — квадрат целого числа. во второй скобке вынесем 2 из каждого множителя 2 * 4 * 6 * *98 * 100= (2 * 1) *(2 * 2) * (2 * 3) * * (2 * 49) * (2 * 50) = = 2^50* 1 * 2 * 3 * * 49 * 50 = 2^50* 50! . так как 2^50=(2^25)^2 — квадрат целого числа, то зачеркнуть 50! , получим произведение, которое будет квадратом целого числа.

prohov14

Математика

4,5(22 оценок)

9цифре для записи , 2*90 для записи . 9+2*90=189 еще остается 1392-189=1203. дальше идут 3-цифровые страницы и их будет 1203: 3=401. 401+99=500. ответ 500 страниц