1. исследовать функцию y=f(x) 2.построить график функции y=f(x) y=x^3-3x^2+2x+1
Ответы на вопрос:
1.область определения функции: х ∈ r.
2. нули функции. точки пересечения графика функции с осью ох.
график функции пересекает ось x при f = 0значит надо решить уравнение: 2 x + x^{3} - 3 x^{2} + 1 = 0.решение этого кубического уравнения даёт один действительный корень х = -0,32472.
3. промежутки знакопостоянства функции:
y < 0, x ∈ (-∞; -0,32472),
y > 0, x ∈ (-0.32472; +∞).
4. симметрия графика (чётность или нечётность функции).
проверим функци чётна или нечётна с соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).итак, проверяем: 2 x + x^{3} - 3 x^{2} + 1 = - x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 1. - нет2 x + x^{3} - 3 x^{2} + 1 = - -1 x^{3} - - 3 x^{2} - - 2 x - 1. - нетзначит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
5. периодичность графика - нет периодичности.
6.точки разрыва, поведение функции в окрестностях точек разрыва, вертикальные асимптоты.
так как функция не содержит дробей и корней, то точек разрыва нет.
7. интервалы монотонности функции, точки экстремумов, значения функции в точках экстремумов.
производная функции y' = 3x² -6x + 2.
корни уравнения 3x² -6x + 2 = 0 равны 1 +- (√3/3).
максимум функции равен 1 + (2/(3√3)) при х = 1 - (√3/3),
минимум равен 1 - (2/(3√3)) при х = 1 + (√3/3).
8. интервалы выпуклости, точки перегиба.
вторая производная равна: y'' = 6х - 6 = 6(x - 1).
поэтому точка перегиба одна: х = 1, у = 1.
9. поведение функции в бесконечности. наклонные (в частности, горизонтальные) асимптоты.
наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 - 3*x^2 + 2*x + 1, делённой на x при x-> +oo и x -> -oo\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(2 x + x^{3} - 3 x^{2} + 1\right)\right) = \infty.предел равен ∞, значит, наклонной асимптоты слева не существует.\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(2 x + x^{3} - 3 x^{2} + 1\right)\right) = \infty.предел равен ∞, значит, наклонной асимптоты справа не существует.
горизонтальные асимптоты найдём с пределов данной функции при x-> +oo и x-> -oo
\lim_{x \to -\infty}\left(2 x + x^{3} - 3 x^{2} + 1\right) = -\infty.предел равен -∞.значит, горизонтальной асимптоты слева не существует.\lim_{x \to \infty}\left(2 x + x^{3} - 3 x^{2} + 1\right) = \infty.предел равен ∞, значит, горизонтальной асимптоты справа не существует.
10. дополнительные точки, позволяющие более точно построить график.
y(x)=x3−3x2+2x+1y(x)=x3−3x2+2x+1таблица точек:
x y-2.0 -23 -1.5 -12.1 -1.0 -5 -0.5 -0.9 0 1 0.5 1.4 1.0 1 1.5 0.6 2.0 1 2.5 2.9 3.0 7 3.5 14.1 4.0 25
11. построение графика функции по проведенному исследованию - дан в приложении.
Популярно: Математика
-
DarkWolf10013.05.2023 07:17
-
matveyxhi02.04.2021 21:41
-
sonia8113.03.2021 09:57
-
foxlina1516.10.2022 21:08
-
Amina122527.04.2023 23:55
-
islom050308.04.2020 01:26
-
vikimeis200621.02.2022 08:21
-
Красавиая12345631.12.2022 11:49
-
ХАМЕЧОКЕ203614.02.2021 14:48
-
stqz05.06.2021 09:00