На равномерной квадратной сетке выбрано 5 произвольных узлов. докажите, что среди этих узлов есть хотя бы 2 таких, что середина соединяющего их отрезка тоже будет узлом сетки.

279

362

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

kramina031

Алгебра

4,8(20 оценок)

Будем считать узлами сетки точки на плоскости xy с целочисленными координатами. для узлов (xi,yi), (xj, yj) середина соединяющего их отрезка имеет координаты ( [xi+xj]/2, [yi+yj]/2 ) и является узлом, если координаты целые. для целых чисел a,b число (a+b)/2 является целым, если одновременно a и b четные, либо если одновременно a и b нечетные. т.е. среди пяти выбранных узлов должны найтись два таких, что четности их координат попарно . среди пяти узлов найдется хотя бы три с одинаковой четностью x-координат (пусть среди пяти узлов k имеют четную x-координату. если k > = 3, имеется 3 узла с четной координатой. если k < 3, то количество узлов с нечетной x-координатой = 5 - k > = 3 - имеется 3 узла с нечетной координатой). рассмотрим эти три узла. среди них найдется хотя бы два с одинаковой четностью y-координаты (аналогично, среди чисел k и 3-k хотя бы одно > = 2). т.е. мы получили два узла с попарно одинаковыми четностями координат -> середина соединяющего их отрезка имеет целые координаты -> она является узлом сетки.