Математика: Dy/dx+y/x=1/(1-x^2). подскажите, , как решить?

sofiabogdanova1

08.02.2022 06:29

Математика

Есть ответ 👍

Dy/dx+y/x=1/(1-x^2). подскажите, , как решить?

186

299

Посмотреть ответы 3

Ответы на вопрос:

TaisiyaP

Математика

4,5(25 оценок)

Заметим, что это линейное дифференциальное уравнение первого порядка(лду1), запишем в общем виде: то есть y и y' присутствуют линейно. решаем лду1 методом вариации произвольной постоянной: считаем, что b(x)=0, тогда получаем: получили решение однородного уравнения пусть c=c(x), тогда общее неоднородное решение будет равно: подставляем в исходное уравнение и решаем: осталось посчитать: получили решение, лду1

buschckovaanas

Математика

4,6(57 оценок)

(y(x))/x+( dy(x))/( dx) = 1/(1-x^2): перепишем в таком виде: ( dy(x))/( dx)+(y(x))/x = -1/(x^2-1) положим mu(x) = e^( integral 1/x dx) = x. умножим обе части на mu(x): x ( dy(x))/( dx)+y(x) = -x/(x^2-1) заменим 1 = ( d)/( dx)(x): x ( dy(x))/( dx)+( d)/( dx)(x) y(x) = -x/(x^2-1) применим g ( df)/( dx)+f ( dg)/( dx) = ( d)/( dx)(f g) к левой части: ( d)/( dx)(x y(x)) = -x/(x^2-1)проинтегрируем обе части по x: integral ( d)/( dx)(x y(x)) dx = integral -x/(x^2-1) dx получаем: x y(x) = -1/2 log(x^2-1)+c_1, где c_1 произвольная константа.разделим обе части на mu(x) = x: ответ: | | y(x) = (-1/2 log(x^2-1)+c_1)/x