На доске написаны 200 натуральных чисел. оказалось, что произведение любых 11 из них кратно 30. какое наименьшее количество чисел, кратных 30, может быть на доске?

227

409

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

балуева2007

Математика

4,4(24 оценок)

30 = 2 * 3 * 5 произведение любых 11 чисел делится на 2, поэтому среди этих чисел обяательно должно быть чётное, и нечётных чисел не больше 10. тогда чётных чисел не меньше 300 - 10 = 290. аналогично, на 3 делится не менее, чем 290 чисел, и на 5 делится не менее, чем 290 чисел. заметим, что эти условия необходимы и достаточны для того, чтобы произведение любых 11 чисел делилось на 30, поэтому дальше будем говорить только о делимости чисел на 2, 3 и 5. буду обозначать количество делящихся на что-то чисел как #(что-то). заметим, что #(2 и 3) = #(2) + #(3) - #(2 или 3) > = 290 + 290 - 300 = 280 #((2 и 3) и 5) = #(2 и 3) + #(5) - #((2 и 3) или 5) > = 280 + 290 - 300 = 270. пример, когда чисел, делящихся на 30, ровно 270: 270 раз 30, 10 раз 6, 10 раз 10, 10 раз 15. ответ. 270.