Для наборов sin5φ, sin10φ, sin15φ и cos5φ, cos10φ, cos15φ найдите наименьшее положительное значение φ, при котором наборы . представьте φφ в радианах в виде несократимой дроби φ=aπ/b с натуральным знаменателем. в ответе запишите знаменатель b.

266

495

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

sagal63

Алгебра

4,7(34 оценок)

Пусть 15φ∈(0; π/2), т.е. φ∈(0; π/30). тогда 5φ< 10φ< 15φ и, т.к. на интервале (0; π/2) функция sin(x) возрастает, а cos(x) - убывает, то sin(5φ)< sin(10φ)< sin(15φ) и cos(5φ)> cos(10φ)> cos(15φ). значит, чтобы эти наборы совпадали, должны одновременно выполняться три условия: sin(5φ)=cos(15φ), sin(10φ)=cos(10φ) и sin(15φ)=cos(5φ). решаем уравнение из 2-го условия и, учитывая, что 10φ∈(0; π/3), получаем 10φ=π/4, т.е. φ=π/40, 5φ=π/8, 15φ=3π/8. подставляя это в 1-ое и 3-е условия, получим верные равенства: sin(5φ)=sin(π/8)=cos(π/2-π/8)=cos(3π/8)=cos(15φ ) иsin(15φ)=sin(3π/8)=cos(π/2-3π/8)=cos(π/8)=cos(5φ). итак, φ=π/40, а т.к. это единственное число из интервала (0; π/30), удовлетворяющее всем трем условиям, то оно и есть минимальное, т.е. в ответ идет 40.