Математика: Доказать что если все циклы чётной длины, то граф двудолен.

Ондруй

22.12.2022 09:34

Математика

Есть ответ 👍

Доказать что если все циклы чётной длины, то граф двудолен.

263

436

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Mocket

Математика

4,6(53 оценок)

Очевидно, если граф состоит из многих компонент связности, то и в каждой компоненте связности будет выполняться условие отсутствия цеклов нечетной длины. если удасться доказать, что каждая компонента связности - двудольный граф, то это будет верно и для всего графа. поэтому будем считать, что граф связный. возьмем произвольную вершину g в графе. пусть класс x - множество вершин, до которых минимальное расстояние до g четное, y - до которых расстояние нечетное. докажем, что соседние вершины в графе принадлежат разным классам. рассмотрим расстояния от g до двух соседних вершин u и v. очевидно, они могут отличаться не более, чем на 1. если они отличаются на 1, всё ок, u и v принадлежат разным классам. если они равны, рассмотрим цикл, состоящий из наименьшего пути из g в u (некоторой длины n), ребра u-v и наименьшего пути из v в g (по предположению тоже длины n). тогда цикл g - - u - v - - g длины 2n + 1 - нечетной, что запрещено по условию. значит, любые соседние вершины принадлежат разным классам, что и требовалось доказать.