Число натуральных делителей числа 8^n+2 x 12^n-3 равно 42. найдите натуральное число n (с решением )

113

298

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

ВАС12237

Математика

4,7(22 оценок)

Сначала определим, как выглядят все делители заданного числа. для этого стоит разложить его на простые множители: из этого разложения заключаем, что все делители имеют вид: , где , по условию это число имеет 42 натуральных делителя. 1)пусть сначала , то есть, каждый из 42 делителей есть степень двойки. очевидно, что эти делители располагаются лишь в порядке возрастания степеней двойки "без пропусков"(иначе получится число, имеющее более 42 делителей), поэтому (между 0 и 41 располагается ровно 42 натуральных числа). а чтобы всех таких делителей вида было ровно столько, необходимо, чтобы если ,то таких делителей меньше 42, если , то больше. итак, , откуда - не натуральное число. поэтому делаем вывод: среди делителей данного числа не могут содержаться только лишь степени двойки. 2)повторим рассуждения для степеней тройки. пусть для всех делителей. тогда они имеют вид в силу рассуждений предыдущего пункта, , откуда - натуральное число. этот случай вполне нас может устраивать, но здесь обязательна проверка - подстановка n в запись числа и прикидка количества делителей. подставляя, имеем число: но мы видим, что число имеет 220 делителей, только лишь являющихся степенями двойки, не говоря про остальные делители(то есть, их не 42 явно). поэтому условию не удовлетворяет. 3)пусть теперь имеем среди делителей и делители "смешанной" породы. как найти нам теперь n? пусть у нас есть какое-либо число вида . какова структура делителей данного числа? их три вида: а)вида . очевидно, что , а потому всего их ; б)вида . ясно, что , а всего их n-3+1 = n-2 плюс ко всему замечаем, что два раза получается в делителе 1. так что один лишний делитель я выбрасываю. о чём это всё говорит? о том, что "чистых" делителей в точности (убираем 1 отсюда) в)смешанные делители вида . сколько их? здесь уже практически чистая комбинаторика. подсчитываем общее допустимое число делителей. на каждую из степеней числа 2(всего их , но 0 не включается, а потому только 5n) можно поставить одну из степеней числа 3(всего их , но 0 не включаем, а потому n-3). соответственно, получаем их комбинаций. всего делителей 42, так что - не натуральное и даже не целое число. таким образом, . произведём проверку: - действительно, число имеет 42 натуральных делителя(40 - отличных от 1 и самого числа, и 2 особых делителя - само число и 1).