Даны сто различных действительных чисел. известно, что наименьшее из них равно 0,08, а наибольшее 40, причём среди всех возможных попарных сумм этих чисел ровно 197 различных. найдите сумму этих чисел.

200

331

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

fdgtrg4gewf

Математика

4,6(34 оценок)

Пронумеруем числа в порядке возрастания: 0,08 = x1 < x2 < x3 < < x100 = 40. введем удобное обозначение x(100 + i) = x(i + 1) + (x100 - x1) заметим, что эти 197 сумм не могут быть равны: x1 + x2 < x1 + x3 < x1 + x4 < < x1 + x99 < x1 + x100 < x2 + x100 < x3 + x100 < < x99 + x100 (суммы начиная с x2 + x100 можно записать в виде x1 + x101, x1 + x102, x1 + x198) так как всего должно получиться 197 неравных сумм, то других значений сумм нет, все остальные суммы выражаются через написанные выше. рассмотрим 97 сумм: (x1 + x3 < ) x2 + x3 < x2 + x4 < x2 + x5 < < x2 + x99 (< x2 + x100) так как каждая сумма равна какой-то из уже выписанных выше сумм, а также из того, между x1 + x3 и x2 + x100 есть только 97 сумм, получаем серию равенств: x2 + x3 = x1 + x4 x2 + x4 = x1 + x5 x2 + x99 = x1 + x100 продолжаем разбираться с суммами вида ai + aj, 3 < = i < j < = 99 при фиксированном i. пусть с предыдущего шага известно, что a(i - 1) + a(i + 1) = 1 + a(2i - 1). рассмотрим все суммы указанного вида. они все не равны, расположены между x1 + x(2i - 1) и xi + x100 = x1 + x(99 + i). между этими значеними есть как раз (99 - i) разрешённых значений для сумм, так что можно записать, что xi + x(i + 1) = x1 + x(2i) xi + x(i + 2) = x1 + x(2i + 1) (< - это, кстати, показывает, что равенство a(i - 1) + a(i + 1) = 1 + a(2i - 1) будет верно и для следующего i) xi + x99 = x1 + x(98 + i) проделав это, получаем, что x1 + x(t - 1) = xi + x(t - i) осталось заметить, что x1 + x100 = x2 + x99 = x3 + x98 = = x50 + x51 (x1 + x100) + (x2 + x99) + + (x50 + x51) = 50 * (x1 + x100) в левой части стоит сумма всех чисел, а в правой - число 50 * (0.08 + 40) = 2004. ответ. 2004.