Втреугольнике abc на сторонах bc и ab взяты точки e и d соответственно так, что ∠bed = 2∠acb. докажите, что ac + ec > ad

113

355

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

жанель93

Геометрия

4,4(52 оценок)

Чтобы выполнялось условие < bed=2< асв, построим на вершине с угол всf, равный двум углам с треугольника авс. проводя прямые параллельно прямой сf, мы видим, что если треугольник авс равнобедренный с основанием ас, то условие не может быть выполнено, поскольку прямая еd будет параллельна стороне вс треугольника при любом положении точки е на стороне вс и точка d будет лежать на продолжении стороны ав, а не на стороне, как дано в условии. значит < a должен быть больше < c. но в любом случае по теореме о неравенстве треугольника в треугольнике аес ас+ес> ae. остается доказать, что ad ≤ ae. рассмотрим остроугольный треугольник авс. продолжим прямую еd до пересечения с прямой са в точке р. угол а треугольника острый, значит угол раd - тупой, а угол аdе - еще (как внешний угол, равный сумме двух внутренних, не смежных с ним. в треугольнике аdе тупым может быть только один угол и он - больший. против большего угла лежит большая сторона. значит ае> ad и ас+ес> ad, что и требовалось доказать. p.s. можно отметить, что при < a=90° решение будет таким же, так как < ade> 90°, а если < a> 90°, то возможен случай, когда ad> ae.