Какими целыми числами выражаются стороны равнобедренного треугольника, если радиус вписанной окружности равен 3/2 см, а описанной 25/8 см?

135

281

Посмотреть ответы 3

Ответы на вопрос:

Vasulivna123

Геометрия

4,8(40 оценок)

Радиусы вписанной в равнобедренный треугольник и описанной около равнобедренного треугольника окружности равны соответственно: , где a - боковая сторона, b - основание, r - радиус вписанной окружности, r- радиус описанной окружности. сделаем замену переменных, чтобы было легче преобразовывать. пусть разделим первое уравнение на второе: сделаем обратную замену: пусть значит, боковая сторона относится к основанию как 5: 4, либо как 5: 6. обратная замена: получилось, что основание выражается иррациональным числом. значит, данное значение не подходит. теперь решим второе уравнение: значит, боковая сторона равна 5 см, а основание - 6 см. ответ: 5 см; 5 см; 6 см.

рикки8

Геометрия

4,4(44 оценок)

Добавляю альтернативное решение, которое, по моему , проще и короче. смотри рисунок. там сделаны дополнительные обозначения. из подобия красного треуг. и аве имеем r: (a/2)=a: (r+r+x) подставляем исходные значения, получаем 2*25/(8a)=a/(25/8+3/2+x) откуда после простейшего преобразования получаем (37+8x)*5²=32a² a²=(37+8x)*5²/32 т.к. а -целое, то и квадрат его тоже целое и тогда правая часть - тоже целое. т.к. 5² не имеет общих множителей с 32, то (37+8х) делится нацело на 32 и может принимать значения только полного квадрата , т.е. 1,4,9 и т.д. если оно равно 1, то а=5, тогда х=-5/8 (да,да, именно -5/8 ! , потому что реальный рисунок не такой, а именно т.о2 должна находиться между точками о1 и е), высота к основанию будет =25/8-5/8+3/2=4, тогда половина основания =3, а основание =6. итак , решено. но ситуация может быть и другая, когда выражение принимает значение не 1, а 4, как мы сказали раньше. примем же это. тогда сторона а=10, х=11,375 т.е. по идее центр вписанной окружности лежит вне треугольника и треугольник тупоугольный. но такого быть не может, потому что х- это расстояние между центрами окружностей и оно больше радиуса описанной окружности. значит, ответ единственный - 5,5,6.