При каких значениях a среди корней уравнения: x^4+x^3-18x^2+ax+b=0 имеются целые числа?

114

410

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Алиса241111

Алгебра

4,6(1 оценок)

X^4 + x^3 - 18x^2 + ax + b = 0 если корень уравнения рациональный x = m/n, то m - делитель свободного члена, n - делитель старшего коэффициента. если корень целый, то это просто делитель свободного члена b. в данном случае старший коэффициент равен 1, поэтому все рациональные корни будут целыми. рассмотрим два случая. 1) число b - простое. тогда возможные корни: 1; -1; b; -b. подставляем эти корни: x = 1: 1 + 1 - 18 + a + b = 0; a = 16 - b x = -1: 1 - 1 - 18 - a + b = 0; a = b - 18 x = b; b^4 + b^3 - 18b^2 + a*b + b = 0; a = -b^3 - b^2 + 18b - 1 чтобы найти а, мы разделили всё уравнение на b. дальше будет тоже самое. x = -b; b^4 - b^3 - 18b^2 - a*b + b = 0; a = b^3 - b^2 - 18b + 1 2) число b - составное, например, b = p*r. тогда, кроме корней 1, -1, b, -b будут еще корни p, -p, r, -r. x = p: p^4 + p^3 - 18p^2 + a*p + p*r = 0; a = -p^3 - p^2 + 18p - r x = -p; p^4 - p^3 - 18p^2 - a*p + p*r = 0; a = p^3 - p^2 - 18p + r x = r: r^4 + r^3 - 18r^2 + a*r + p*r = 0; a = -r^3 - r^2 + 18r - p x = -r: r^4 - r^3 - 18r^2 - a*r + p*r = 0; a = r^3 - r^2 - 18r + p если у составного числа b больше делителей, например, b = k*p*r*s, то будет тоже самое. например, при x = k*r будет: x = kr: (kr)^4 + (kr)^3 - 18(kr)^2 + a*kr + kr*ps = 0; a = -(kr)^3 - (kr)^2 + 18kr - ps