Найти все значения а, при которых один корень уравнения 2ах^2 - 2x - 3a - 2 = 0 больше 1, а другой меньше 1.

294

437

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

DarkGay

Математика

4,4(12 оценок)

2a*x^2 - 2x + (-3a-2) = 0 во-первых, отметим, что при а = 0 уравнение станет линейным: -2x - 2 = 0; x = -1 - имеет единственный корень. поэтому a ≠ 0. теперь решаем, как обычное квадратное уравнение. d/4 = 1 - 2a(-3a-2) = 6a^2 + 4a + 1 > 0 при любом а. теперь находим x: x1 = (1 - √(6a^2+4a+1))/(2a) x2 = (1 + √(6a^2+4a+1))/(2a) один корень должен быть больше 1, а другой меньше 1. возможные варианты: 1) { (1 - √(6a^2+4a+1))/(2a) > 1 { (1 + √(6a^2+4a+1))/(2a) < 1 приводим к общему знаменателю { (1 - √(6a^2+4a+1) - 2a)/(2a) > 0 { (1 + √(6a^2+4a+1) - 2a)/(2a) < 0 если a < 0, то { 1 - √(6a^2+4a+1) - 2a < 0 { 1 + √(6a^2+4a+1) - 2a > 0 переносим корень отдельно { √(6a^2+4a+1) > 1 - 2a { √(6a^2+4a+1) > 2a - 1 заметим, что при a < 0 будет 1 - 2a > 0; 2a - 1 < 0 так как корень арифметический, то 2 неравенство верно при любом a < 0. 1 неравенство возводим в квадрат 6a^2 + 4a + 1 > 1 - 4a + 4a^2 приводим подобные 2a^2 + 8a > 0 2a(a + 4) > 0 a < 0, поэтому a < -4 если a > 0, то { 1 - √(6a^2+4a+1) - 2a > 0 { 1 + √(6a^2+4a+1) - 2a < 0 переносим корень отдельно { √(6a^2+4a+1) < 1 - 2a { √(6a^2+4a+1) < 2a - 1 если a ∈ (0; 1/2), то 2a - 1 < 0, тогда 2 неравенство решений не имеет. если a > 1/2, то 1 - 2a < 0, тогда 1 неравенство решений не имеет. если a = 1/2, то оба неравенства решений не имеют. √(6a^2+4a+1) < 0 решений нет 2) { (1 - √(6a^2+4a+1))/(2a) < 1 { (1 + √(6a^2+4a+1))/(2a) > 1 приводим к общему знаменателю { (1 - √(6a^2+4a+1) - 2a)/(2a) < 0 { (1 + √(6a^2+4a+1) - 2a)/(2a) > 0 если a < 0, то { 1 - √(6a^2+4a+1) - 2a > 0 { 1 + √(6a^2+4a+1) - 2a < 0 переносим корень отдельно заметим, что при a < 0 будет 1 - 2a > 0; 2a - 1 < 0 { √(6a^2+4a+1) < 1 - 2a { √(6a^2+4a+1) < 0 2 неравенство решений не имеет решений нет. если a > 0, то { 1 - √(6a^2+4a+1) - 2a < 0 { 1 + √(6a^2+4a+1) - 2a > 0 переносим корень отдельно { √(6a^2+4a+1) > 1 - 2a { √(6a^2+4a+1) > 2a - 1 если a ∈ (0; 1/2), то 2a - 1 < 0, 2 неравенство верно при любом a > 0 1 неравенство возводим в квадрат 6a^2 + 4a + 1 > 1 - 4a + 4a^2 2a^2 + 8a > 0 - это верно при любом a > 0. значит, a ∈ (0; 1/2) если a > 1/2, то 1 - 2a < 0, 1 неравенство верно при любом a > 0 2 неравенство возводим в квадрат. 6a^2 + 4a + 1 > 4a^2 - 4a + 1 2a^2 + 8a > 0 - это верно при любом a > 0 значит, a > 1/2 если a = 1/2, то оба неравенства верны: √(6a^2+4a+1) > 0 ответ: a ∈ (-oo; -4) u (0; +oo)