Построить треугольник по стороне, биссектрисе, проведенной к этой стороне, и радиусу описанной окружности

223

252

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

dimalol3373

Геометрия

4,8(19 оценок)

опишем окружность данного радиуса с центром о. проведем в ней хорду ав, равную заданной стороне. пусть м –середина этой хорды. проведем диаметр тр через точки м и о (т и р лежат на окружности и т –ближайшая к м). все биссектрисы вписанных треугольников авс из угла с проходят через точку т-середину дуги ав. предположим, что построен искомый треугольник авс с биссектрисой ск, продолжение которой проходит через т. биссектриса ск равна заданной l. заметим, что треугольник рст подобен треугольнику тмк (оба прямоугольные с общим углом т). значит тк*тс=тм*тр. но и треугольник твр подобен треугольнику твм и тв*тв=тм*тр. значит тк*тс=тв*тв и это верно для любой точки с на дуге проходящей через авр.

теперь построение : тв нам известно (строится сразу). тк*( l+тк)=тв*тв. значит тк^2+2*(l/2)*tk+l^2/4=tb^2+l^2/4 tk=sqrt(tb^2+l^2/4)-l/2. тс= sqrt(tb^2+l^2/4)+l/2. таким образом, тс строится элементарно : строим прямоугольный треугольник с катетами тв и l/2 и его гипотенузу продолжаем на l/2. зная тс проводим окружность из т радиуса тс и пересечение ее с исходной окружностью даст точку с (и симметричную ей относительно тр). условия на радиус, хорду ав и длину биссектрисы l, когда построения выполнимы, вполне очевидны.