50 . доказать, что любая монотонная на r функция непрерывна всюду , кроме не более чем счётного множества, причем в точке этого множества существуют пределы функции слева и справа.

258

431

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

arina1234as

Математика

4,4(50 оценок)

Докажем сначала вторую часть теоремы. не ограничивая общности будем считать, что функция монотонно неубывает (для невозрастающей доказательство аналогичное). возьмем точку . так как функция монотонна на r, то для . пусть y - точная верхняя грань . для не является верхней гранью данного множества. поэтому . если ввести , то получится как раз определение предела слева по коши. аналогично доказывается существование правого предела. из существования левого и правого предела следует, что могут существовать лишь точки разрыва 1-го рода. если в точке x функция терпит разрыв, то f(x+0)> f(x-0). так как f(x+0) и f(x-0) имеют вещественные значения, то существует некоторое рациональное число, лежащее между двумя данными. назовем его h(x). сопоставим каждой точке разрыва функции f некоторое рациональное число h(x) по правилу, описанному выше. если - две точки разрыва, то . отсюда разным точкам разрыва соответствуют различные h(x). рациональных чисел счетное число, поэтому h(x) - не более чем счетно.