Буду ! вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями: у=16/x^2 y=17-x^2

178

352

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

freddylolbrO

Математика

4,5(2 оценок)

Рекомендую сделать рисунок, так будет нагляднее. сначала найдём точки пересечения этих графиков: 16/x^2 = 17 - x^2 обе эти функции чётные, так что эта фигура будет состоять из двух симметричных кусков слева и справа. искать будем площадь одного, а потом удвоим её. поэтому же рассмотрим только область с х> 0. итак решаем уравнение. домножаем на x^2 (корень не потеряется, потому что х=0 явно не корень этого уравнения): 16/x^2 = 17 - x^2 16 = 17 x^2 - x^4 x^4 - 17 x^2 + 16 = 0 заменим x^2 например на t, получим: t^2 - 17 t + 16 = 0 d = 17^2 - 4*16 = 289 - 64 = 225 = 15^2 t = (17 +- 15)/2 = {1; 16} значит и х соответственно принимает значения {1; 4} - отрицательные пока отбросили, потому что рассматриваем только правую часть! значит эта фигура лежит между графиками функций на диапазоне от 1 до 4. для нахождения площади надо найти площадь фигуры под верхним графиком и вычесть из неё площадь фигуры под нижним. для этого используем определённые интегралы: для удобства сначала распишу неопределённые, обозначу их как i: i1 = ∫(16/x^2) dx = ∫(16x⁻²) dx = -16 x⁻¹ + c i2 = ∫(17-x^2) dx = 17x - 1/3 x^3 + c теперь считаем определённые для нашего интервала: s1 = -16 4⁻¹ - (-16 1⁻¹) = -16/4 + 16 = 12 s2 = 17*4 - 1/3 *4^3 - (17*1 - 1/3 1^3) = 68 -1/3*64 - 17 + 1/3 = 51 + 1/3 (1-64) = 51 - 1/3*63 = 51 - 21 = 30 разность площадей 30-12 = 18 не забываем, что это только справа, и слева такой же кусочек, значит общая площадь равна 2*18 = 36. спрашивайте, если что непонятно.