Найдите трёхзначное число, сумма цифр которого равна 8, а сумма квадратов цифр делится на 11. в ответе укажите одно такое число.
Ответы на вопрос:
abc
a + b + c = 8 (1)
a² + b² + c² = 11x x∈n (2)
возведем обе части (1) в квадрат. получим:
(a + b + c)² = 64
a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac = 64
a² + b² + c² = 64 - 2(ab + bc + ac). тогда из (2):
64 - 2(ab + bc + ac) = 11x
так как левая часть четна при любых a, b и с ∈ n, то разделим ее на 2:
32 - (ab + ac + bc) = 11x
равенство выполняется в двух случаях: при х = 1 и х = 2, однако, сумма квадратов цифр числа, с суммой цифр, равной 8, не может равняться 11. следовательно х = 2. сумма квадратов цифр числа - 22 и само число:
332; 323; 233.
ответ: 332.
==============================
или так:
так как сумма цифр трехзначного числа равна 8, и, по условию, цифры могут повторяться, то максимальное число, удовлетворяющее первому условию, - 800. однако, второму условию это число не удовлетворяет, так как 64 не кратно 11.
цифры 0 в составе числа быть не может, так как две оставшиеся цифры должны быть или обе четные, или обе нечетные. сумма квадратов и в том, и в другом случае четна, что не соответствует условию 2.
так как 64 - максимально возможная сумма квадратов цифр для данного числа, а цифры 0 в составе числа быть не может, то максимально возможное число уменьшается до 611. сумма квадратов для этого числа - 38. следовательно, сумма квадратов для числа, удовлетворяющего второму условию, может быть 33 или 22.
33 не подходит, так как 611 имеет сумму квадратов, равную 38, а 521 - сумму квадратов, равную 30.
остается число 22. и исходное трехзначное число - 332; 323 или 233 с суммой квадратов цифр, равной 9 + 9 + 4 = 22
ответ: 332.
Популярно: Математика
-
anystti31.05.2023 15:59
-
вадимм222.01.2023 04:00
-
Sergey200345626.06.2022 21:08
-
SensRow02.11.2020 20:48
-
Bopauov26Ernar13.12.2022 00:45
-
Lisska14722.10.2022 04:06
-
yubloh18.03.2023 06:05
-
Lenechka2019.04.2020 00:23
-
dania4545120.09.2022 22:11
-
qwertynikas23.05.2020 00:36