Втрапеции abcd точки k и m - середины ее оснований ab и cd соответственно. причем dк и вм - биссектрисы соответствующих углов adc и abc. косинус меньшего угла при нижнем основании равен 3/4. найдите длину отрезка км, если периметр равен 30.

123

140

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

fox359

Геометрия

4,8(1 оценок)

Поскольку dk - биссектриса угла d, то угол adk равен углу dka (который равен cdk), и треугольник adk равнобедренный, ad = ak; а поскольку аk = kв; то можно обозначить ak = kb = ad = a; точно так же легко показать, что bmc равнобедренный треугольник, и bc = cm = md = b; считаем, что a > b и заданный меньший угол при основании - это угол dab; (это взаимосвязанные утверждения, потом невозможность другого выбора будет видна из треугольника aeb, в котором из b < a следует ев < ae; а значить и угол напротив меньше) периметр равен 3*(a + b) = 30; поэтому a + b = 10; если продлить ad, bc и km до пересечения в точке е (все три прямые пересекутся в одной точке, и kе - медиана аве и подобного ему треугольника cde), и обозначить de = y; ce = x; то из подобия edm и eak следует y/b = (y + a)/a; аналогично из подобия emc и ekb x/b = (x + b)/a; кроме того, очевидно и то ,что y/x = a/b; (это не независимое соотношение) получается y = a*b/(a - b); x = b^2/(a - b); третья сторона треугольника edc равна 2*b, а косинус угла edc равен 3/4; если применить теорему косинусов, то x^2 = y^2 + (2*b)^2 - 2*(2*b)*y*(3/4); или (b^2/(a - b))^2 = (a*b)^2/(a - b)^2 + 4*b^2 - 3*a*b^2/(a - b); b^4 = a^2*(a - b)^2 + 4*b^2*(a - b)^2 - 3*a*b^2*(a - b); (a^2 - b^2) + 4*(a - b)^2 - 3*a*(b - a) = 0; a + b + 4*a - 4*b - 3*a = 0; 2*a = 3*b; поскольку a + b = 10; то a = 6; b = 4; трапеция имеет боковые стороны 4 и 6 и основания 12 и 8. если провести теперь dq ii mk, то qk = dm = 4, ak = 6; то есть aq = 2; отсюда dq^2 = 6^2 + 2^2 - 2*6*2*(3/4) = 22; ясно, что dq = km; поэтому km = √22;