Найдите наибольшее и наименьшее натуральное значения n при которых уравнение: имеет натуральные решения. объясните на уровне 9 класса, как решать такие .
156
191
Ответы на вопрос:
(x^2+y^2)^2010=(xy)^n при х и у = 1 , наше уравнение очевидно не справедливо , x^2+y^2=(x+y)^2-2xy видно что x^2+y^2> 2xy .но только при x=y => x^2+y^2> =2xy соответственно если мы возведем левую часть в 2010 степень она будет больше правой, при х не = у (x^2+y^2)^2010> =(2xy)^2010 , следовательно n> =2010. при х не = у то есть мы по сути должны для начало решить в целом наше уравнение , показать при каких значениях существует решение! так как мы сказали раннее что n> =2010, то при n=2010, (x^2+y^2)^2010=(xy)^2010 x^2+y^2=xy (x+y)^2-2xy=xy (x+y)^2=3xy слева число будет точным квадратом какого то числа , а справа чтобы был квадратом нужно чтобы xy=3, иначе квадрат не получиться, что противоречит выражению стоящему слева! следовательно n> 2010 пусть х=y . тогда (x^2+y^2)^2010=(xy)^n (2x^2)^2010 =x^(2n) 2^2010*x^4020=x^2n 2^2010=x^(2n-4020) так как слева стоит четное числа и как видно в геом прогрессий с знаменателем 2; то справа значит будет тоже четное и х=2^k, где к=1,2,4,8, так как пусть x числа четное 10,12,14 но не степень двойки тогда она должна делиться на числа 2,4,8,16, ! 2^2010=x^(2n-4020) 2^2010=2^(2n-4020) n=3015, но наибольшее ли оно , так как 1005=k(n-2010) то "k" отудого делитель 1005 но так как "k" четное и степень 2 , то это невозможно ,следовательно это оно может равняться только 1! значит это будет и наибольшим ! попробуем при тех же самых х=у найти минимальное! то есть я не уверен и уверен что есть (x^2+y^2)^2010=(xy)^n 2^2010=x^(2n-4020) так как было сказано что x=2.4.8.16 1005= k(n-2010) очевидно решение при n=2011. k=1 так как k> 0 отудого x^2=2^2010 => x=2^1005. теперь рассмотрим при х> y (x^2+y^2)^2010=(xy)^n но так как x^2+y^2 > 2xy то есть при разных х , у оно не имеет решений! p.s в таких главное преобразовать уравнение в более простое, проверить решения при х=у, х> y. что то заметить и так далее!
При любом n пара x = 1, y = 1 не является решением. поэтому (xy)^n = (x^2+y^2)^2010 (2xy)^2010 (xy)^2010`. значит, n > 2010. предположим, что `x ne y`. тогда найдется простое число p, такое что `x = p^k a`, `y = p^m b`, и числа a и b не делятся на p. для определенности можно считать, что `k gt m ge 0`. тогда `(p^(2k) a^2 + p^(2m) b^2)^2010 = (p^(k+m)ab)^n`; `(p^(2(k-m)) a^2 + b^2)^2010 = a^nb^np^(n(k+m)-2m*2010)` (1) из условий n > 2010 и k > m получаем: n(k+m) - 2m*2010 = (nk-2010m) + m(n-2010) > 0 . значит, правая часть равенства (1) - целое число, которое делится на p. левая часть на p не делится. противоречие. пусть теперь x = y , тогда из равенства `(x^2+y^2)^2010 = (x^2)^n` получаем: `x^(n-2010) = 2^1005`. откуда `x = 2^q = 0,1, и q(n - 2010) = 1005 . поэтому n - 2010 натуральный делитель числа 1005. по условию нас интересуют только наименьшее и наибольшее возможное значение n. поэтому нужно взять n - 2010 = 1 и n - 2010 = 1005, откуда n = 2011 и n = 3015, при n = 2011 x = y = 2^1005, при n = 3015 x = y = 2. ответ: 2011, 3015
49,8 наверно такой ответ решить же надо 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Популярно: Алгебра
-
Tixaia30.01.2021 13:48
-
вевпончд13.10.2021 12:54
-
kuleminaIV05.09.2022 11:16
-
Fits9731.08.2022 17:46
-
nastya273412.03.2022 20:40
-
SamaraArtem2409.06.2020 09:37
-
lehaguy23.01.2021 14:11
-
Kirakler200026.02.2022 20:13
-
islamlg01.04.2022 19:24
-
LeenBoom6918.09.2021 02:24