Доказать, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника, и отрезки, соединяющие середины диагоналей, пересекаются в одной точке

140

207

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

shcoll15

Геометрия

4,5(76 оценок)

четырехугольник abcd, к - середина ав, l - середина вс, m - середина cd, n - середина ad, р - середина ас, q - середина bd. надо доказать, что км, ln и pq пересекаются в одной точке.

кn - средняя линяя в треугольнике abd, поэтому kn ii bd, kn = bd/2; точно также доказывается, что lm ii bd, kl ii ac, mn ii ac. поэтому klmn - параллелограмм, в котором ln и km - диагонали, поэтому в точке пересечения они делятся пополам, то есть км проходит через середину ln.

с другой стороны,

lq - средняя линяя в треугольнике bcd, то есть lq ii cd, а pn - средняя линяя в треугольнике acd, pn ii cd, следовательно, pn ii lq.

lp - средняя линяя в треугольнике abc, то есть lp ii ab, а qn - средняя линяя в треугольнике abd, qn ii ab, следовательно, qn ii lp.

поэтому plqn - параллелограмм, и его диагонали pq и ln в точке пересечения делятся пополам.

то есть pq, так же как и км, проходит через середину ln.

всё доказано.