Какой из цилиндров с объемом 128 см3 имеет наименьшую полную поверхность?

138

224

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

daryaladelshhikova

Математика

4,4(26 оценок)

Формула нахождения объема цилиндра v = πr2 h поскольку объем цилиндра нам известен, то πr2 h = 128π откуда r2 h = 128 h = 128 / r2 площадь полной поверхности цилиндра равна площади его оснований и площади боковой поверхности. таким образом, формула площади поверхности цилиндра будет выглядеть следующим образом: s = 2πr2 + 2πrh где πr2 - площадь основания цилиндра (площадь круга) 2πr - длина окружности основания подставим значение высоты цилиндра в полученную формулу s = 2πr2 + 2πrh s = 2πr2 + 2πr * 128 / r2 s = 2πr2 + 256π / r если представить полученную формулу как функцию площади заданного в цилиндра, то минимальная площадь цилиндра будет достигнута в точке экстремума данной функции. для нахождения экстремума дифференцируем полученную функцию. f(r) = 2πr2 + 256π / r получим: f '(r) = 4πr - 256π / r2 поскольку в точке экстремума производная функции равна нулю, приравняем f '(r) к нулю и решим уравнение. 4πr - 256π / r2 = 0 4πr ( 1 - 64/r ) = 0 4πr = 0 или 1 - 64/r = 0 первый найденный корень уравнения r = 0 отбрасываем, 1 - 64/r = 0 r = 64 откуда h = 128 / r2 h = 128 / 4096 h = 0.03125 или 1/32 ответ: минимальная площадь цилиндра будет достигнута при h = 1/32 см, r =64 см