Из листового железа изготовили бак цилиндрической формы (без крышки) вместимостью v с наименьшей затратой металла. каковы размеры бака?

137

251

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Кауру

Математика

4,7(28 оценок)

Пусть радиус основания равен r. тогда, так как объем находится по формуле v = pi * r^2 * h, то h = v / (pi r^2). площадь бака равна s = pi r^2 + 2 pi r h (одна круглая крышка и боковая поверхность). необходимо, чтобы площадь была минимальна. s = pi r^2 + 2 pi r h = pi r^2 + 2 v / r -> min находим производную s'(r): s'(r) = 2 pi r - 2 v / r^2 находим нули производной: 2 pi r - 2v / r^2 = 0 r^3 = v / pi r = (v / pi)^(1/3) при 0 < r < (v / pi)^(1/3) производная s(r) < 0; при r > (v / pi)^(1/3) производная s(r) > 0. поэтому в точке r = (v/pi)^(1/3) достигается минимум. при этом r высота h равна h = v / (pi r^2) = v / pi * (pi / v)^(2/3) = (v / pi)^(1/3)