Втрапеции диагонали пересекаются в точке, через которую проведен отрезок, соединяющий боковые стороны параллельно основанию. отношение площадей треугольников с вершиной в точке пересечения и основаниями, равными основаниям трапеции, равно 9: 1 . найдите отношения площадей трапеции, на которые делит исходную трапецию данный отрезок.

101

370

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Daria990

Математика

4,4(70 оценок)

Abcd - трапеция; ad - нижнее основание; bc - верхнее основание; o - точка пересечения диагоналей. ef проходит через точку o и параллельно основаниям. mn проходит через точку o и перпендикулярно основаниям - высота трапеции. e∈ab; f∈cd; m∈bc; n∈ad тр-к boc подобен тр-ку aod. отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения соответственных линейных размеров, т.е. сторон и высот. значит, ad: bc=3^: 1; mo: on=1: 3; mo: mn=1: 4; пусть bc=x⇒ad=3x; mo=y; ⇒on=3y; mn=4y площадь трапеции abcd равна: s=1/2(ad+bc)*mo=1/2(x+3x)*4y=8xy выразим через s площади befc и aefd. площадь aefd равна сумме площадей aofd и aeo. рассмотрим тр-ки acd и ocf. они подобны. их высоты относятся как 4: 1, а площади как 16: 1. площадь acd равна 1/2*3x*4y=6xy. площадь ocf равна 1/16*6xy=3/8*xy. площадь aofd равна разности площадей acd и ocf: 6xy-3/8*xy=45/8*xy рассмотрим тр-ки abc и aeo. они подобны. их высоты относятся как 4: 3, а площади как 16: 9. площадь abc равна 1/2*x*4y=2xy. площадь aeo равна 9/16*2xy=9/8*xy. площадь aefd равна: 45/8*xy+9/8*xy=54/8*xy=27/4*xy площадь befc равна разности площадей abcd и aefd: 8xy-27/4*xy=5/4*xy s(befc): s(aefd)=5/4*xy: 27/4*xy=5: 27