Вправильной шестиугольной призме abcdefa1b1c1d1e1f1 стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 4. n -середина отрезка ас. найдите расстояние от вершины а до плоскости na1d. если можно, то решите координатно-векторным методом

136

411

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

ixnivoodoo

Геометрия

4,4(1 оценок)

координатный метод.

(*** некоторые результаты, вроде того, что угол cad= 30°; - я привожу без пояснений и "доказательств", предполагается, что вам известны углы между диагоналями и их размеры в правильном шестиугольнике).

начало координат в точке а, ось x вдоль ad, ось y в плоскости основания перпендикулярно ad, ось z - вдоль аа1. еще я обозначу r = 2 (по смыслу это радиус описанной вокруг шестиугольника окружности). кроме того, пусть к - проекция точки n на ad.

плоскость na1d пересекает ось х в точке (4, 0, 0) и ось z в точке (0, 0, 4).

кроме этого, она проходит через точку n.

координаты точки n (nx, ny, 0); ny = nk равно половине высоты трапеции abcd,

то есть ny = (r*√3/2)/2 = √3/2; отсюда nx = ак = 3/2; (потому что угол cad равен 30°; )

чтобы построить уравнение плоскости na1d, лучше всего найти координаты точки q (0, q, 0), в которой прямая dn пересекает ось y. это проще, чем высчитывать определитель, уравнение плоскости через координаты точек a1, d и n.

треугольники qad и nkd подобны, поэтому

aq/ad = nk/kd; q/4 = (√3/2)/(4 - 3/2); q = 4√3/5;

то есть координаты точки q (0, 4√3/5, 0);

уравнение плоскости a1qd ( она же - плоскость na1d) теперь записывается автоматически

x/4 + y/(4√3/5) + z/4 = 1;

(если не понятно, как это получается - легко проверить, что точки (4,0,0) (0,4√3/5,0) и (0,0,4) удовлетворяют этому уравнению, а через три точки можно провести только одну плоскость.)

(примечание. все предыдущие манипуляции преследовали только одну цель - найти, какой отрезок плоскость отсекает на оси y. в общем случае, если известно, что какая-то плоскость отсекает на осях - считая от начала координат, ориентированные отрезки a, b, c - то есть проходит через точки (a,0,0) (0,b,0) (0,0,c), то уравнение плоскости записывается сразу x/a + y/b + z/c = 1).

это уравненние можно записать в виде скалярного произведения rp=1;

r = (x,y,z); это радиус-вектор точки плоскости (то есть его абсолютная величина равна расстоянию от а до точки плоскости).

p = (1/4, 5/4√3, 1/4);

теперь задается вопрос "при каком r его длина минимальна? ".

в такой постановке сразу ясно, что r коллинеарен (параллелен, пропорционален) p, поскольку при любом другом положении r его длина больше - так как косинус угла между r и p будет меньше 1).

в этом случае rp=1; (абсолютные величины! ) и r = 1/p;

то есть для получения ответа осталось вычислить p = ipi;

p = √((1/4)^2 + (1/4)^2 + (5/4√3)^2) = √155/20; а искомое расстояние равно 4√155/31.

проверяйте, может я в числах где ошибся.

это копия моего решения вот отсюда я и тогда не был уверен в числах, и сейчас : )

linkingday

Геометрия

4,4(17 оценок)

Треугольник асд, cos угла сад=(ас в квадрате+ад в квадрате-сд в квадрате)/(2*ас*ад)=(625+225-100)/(2*15*25)=750/750=1= угол90, треугольник асв, cos угла асв=(ас в квадрате+вс в квадрате-ав в квадрате)/(2*ас*вс)=(225+81-36)/(2*15*9)=270/270=1 =угол90, уголсад=уголасв - это внутренние разносторонние углы , если при пересечении двух прямых третьей внутренние разносторонние углы равны то прямые параллельны, вс параллельна ад, ас перпендикулярна ад и вс, трапеция четырехугольник у которого две стороны параллельны