Алгебра: Разложить на множители x^4+x³-4x²+x+1

valeriuadobro20

12.04.2020 17:37

Алгебра

Есть ответ 👍

Разложить на множители x^4+x³-4x²+x+1

224

400

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

АртемGoloborshev

Алгебра

4,5(15 оценок)

Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. будем искать коэффициенты разложения, предположив, что все они целые. поскольку свободный член у исходного многочлена равен единице, свободные члены множителей будут либо оба 1, либо оба (-1). рассмотрим сначала случай, когда они оба = 1, если разложение получить не удастся, рассмотрим второй случай. x^4+x^3-4x^2+x+1=(x^2+ax+1)(x^2+bx+1). если перемножить многочлены в правой части, должен получиться тот же многочлен, что и слева⇒ в левой и правой части одинаковые коэффициенты при одинаковых степенях. коэффициент при x^3 слева = 1, справа = a+b; получили уравнение a+b=1 коэффициент при x^2 слева = -4, справа = 2+ab; получили уравнение ab=-6 следовательно, a и b являются корнями квадратного уравнения t^2-t-6=0 ( господину виету); t=3 или t= - 2; пусть a=3; b=-2 проверив, что при выбранных a и b коэффициенты и при x, убеждаемся в справедливости разложения x^4+x^3-4x^2+x+1=(x^2+3x+1)(x^2-2x+1). если такого разложения недостаточно, можем разложить до скобок первой степени: x^4+x^3-4x^2+x+1=(x+3/2+√5/2)(x+3/2-√5/2)(x-1)^2