Впрямоугольном треугольнике медианы, проведённые к катетам, равны √17см и 2√2 см. определите сумму катетов треугольника

245

302

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

danilsmetanov6

Математика

4,4(21 оценок)

Обозначим углы треугольника а, в, с, где с - прямой угол, ве и ак - медианы. пусть катеты ас=х и вс=у, а медианы ве=м1=√17, ак=м2=2√2. из прямоугольного треугольника все по теореме пифагора: ве^2=bc^2+ce^2, m1^2=y^2+(x/2)^2. из прямоугольного треугольника ack по теореме пифагора: ak^2=ac^2+ck^2, m2^2=x^2+(y/2)^2. получилась система уравнений: m1^2=y^2+x^2/4; (1) m2^2=x^2+y^2/4. (2) если умножить уравнение (2) на 4 и вычесть из него уравнение (1), то получим: 4*м2^2-m1^2=4x^2-x^2/4 = (15/4)*x^2. отсюда x^2=(4/15)*(4*м2^2-m1^2)=(4/15)(4*8-17)=4, x=2 - катет ас. из уравнения (1): y^2=m1^1-x^2/4=17-4/4=16, у=4 - катет вс. сумма катетов 2+4=6.