1. к числу приписали все цифры от 1 до 9 (в случайные места). оказалось, что полученное число делится на 9. доказать, что исходное тоже делится на 9 2. петя написал число. вася поменял в нем цифры местами и полученное число приписал в конец петиного числа. полученное число делится на 3. докажите, что число пети тоже делится на 3. 3. число возвели в квадрат. у полученного числа посчитали сумму цифр и получили 152. может ли такое быть?

103

499

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

DimanGame2016

Математика

4,8(54 оценок)

1) число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9 сумма приписанных цифр от 1 до 9 равна 45, это число делится на 9. значит, если число с приписанными цифрами делится на 9, сумма его цифр делится на 9. в таком случае, число без приписанных цифр тоже делится на 9. почему это так: сумма цифр числа без приписанных меньше суммы цифр числа с приписанными цифрами на 45 (которое кратно 9). 2) число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. сумма цифр васиного числа в 2 раза больше, чем сумма цифр петиного числа, и делится на 3. значит сумма цифр в петином числе сама обязана делиться на 3. значит на 3 делится само петино число 3) сумма цифр числа всегда имеет тот же остаток от деления на 9, что и само число. доказательство: где n - количество цифр в числе. все числа вне квадратных скобок в последнем выражении делятся на 9, значит само число имеет тот же остаток от деления на 9, что и выражение в квадратных скобках, а это сумма цифр числа. 152 имеет остаток 8 при делении на 9. посмотрим, какие остатки могут иметь квадраты натуральных чисел при делении на 9. для этого достаточно рассмотреть остатки квадратов возможных остатков при делении на 9 остаток - квадрат остатка - остаток квадрата остатка 0 - 0 - 0 1 - 1 - 1 2 - 4 - 4 3 - 9 - 0 4 - 16 - 7 5 - 25 - 7 6 - 36 - 0 7 - 49 - 4 8 - 64 - 1 таким образом, квадрат натурального числа не может иметь остатка 8 при делении на 9. значит сумма цифр не могла быть равна 152.