Угол abc-прямой, ab=4,bc=3.найти расстояние от b до точки k лежащей на биссектрисе прямого угла, если k равноудалена от a и c.

211

397

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

мася277

Геометрия

4,5(88 оценок)

Биссектриса угла - это место точек внутри угла, равноудаленных от сторон угла. точка к лежит на биссектрисе вм прямого угла, следовательно, перпендикуляры из точки к на стороны ав и вс будут равны. пусть они будут равны х. из прямоугольных треугольников аке и скр по пифагору найдем ак и кс: ак=√[(4-х)²+х²], а kc=√[(3-х)²+х²]. по условию ак = кс, значит и ак² = кс². 16-8х+х²+х² = 9-6х+х²+х², или 16-8х = 9-6х, откуда х=3,5. найдем bk из прямоугольного равнобедренного треугольника с катетами х = 3,5. вк = √(х²+х²) = 3,5*√2. ответ: вк = 3,5*√2 ≈ 4,95. подкорректируем рисунок, чтобы он соответствовал решению (зеленые и красные линии) ае = ав-х =4-3,5=0,5. ср=вр-вс=3,5-3=0,5.

51201826

Геометрия

4,6(9 оценок)

эта проще, чем кажется.

1. вм = мс и ма = мс (по известному свойству касательных, проведенных из одной точки. дальше я очевидные вещи просто буду констатировать - но это не значит, что вам не надо их обосновывать).

таким образом, мс = ав/2.

2. рм - биссектриса угла вмс, и мо - биссектриса угла сма. в сумме эти углы составляют 180 градусов, поэтому сумма углов рмс и смо равна 90 градусов. то есть треугольник рмо - прямоугольный.

3. конечно, мс - высота к гипотенузе в этом треугольнике, и угол рмс = угол сом = а.

4. отсюда рм = мс/cos(а) = ab/(2*cos(a));

5. это всё : )

между прочим, треугольник авс тоже прямоугольный : не хотите доказать?

это я так, для себя больше.

тут есть способ, который сразу напрашивается - угол всм равен половине угла врс, а угол асм - половине угла аос, и углы врс и аос в сумме равны 180 градусов.

правильное решение, но есть более простое : ) как я уже упоминал ,точки а, в и с равноудалены от точки м, то есть если построить окружность на ав, как на диаметре, то угол вса будет вписанным углом, на него опирающимся. значит, он прямой.