Пенсионерки на одной из планет системы альфа центавра любят раскрашивать клетки досок 2016×2016 золотыми и серебряными красками. однажды оказалось, что у всех раcкрашенных в один из дней досок в каждом квадрате 3×3 было ровно по a золотых клеток, а в каждом прямоугольнике 2×4 или 4×2 — ровно по z золотых клеток. при каких a и z это возможно?

284

451

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

marushakeduard

Алгебра

4,8(87 оценок)

Доска со сторонами 2016 на 2016 имеет 2016*2016=4 064 256 клеток. в ней поместится 3х3 квадратов 4 064 256/(3*3)=451 584=(2^10)*(3^2)*(7^2) и может поместится 2х4 прямоугольников 4 064 256/(2*4)=508 032= =(2^7)*(3^4)*(7^2). в каждом квадрате а золотых клеток значит всего в квадратах может быть а*(2^10)(3^2)*(7^2), при этом z золотых клеток в прямоугольнике z*(2^7)*(3^4)*(7^2). получаем уравнение а(2^10)(3^2)(7^2)=z(2^7)(3^4)(7^2) после сокращения получим 8a=9z отсюда а=9 z=8 при других значениях a и z c условием, что a< =9 и z< =8 равенство не получается. все клетки выходит закрашены)