Подробное решение + рисунок. а)в окружности проведены хорды ав||cd и ae||fd. докажите, что хорды fb и ce параллельны. б)в ромбе высота, проведенная из вершины тупого угла, делит его сторону пополам. найдите: а) углы ромбы. б) его периметр, если меньшая диагональ равна 3,5 см. в)окружности, радиусы которых равны 1см и 3 см, внешне касаются. найдите угол между их внешними касательными. г) найдите длину окруждности, около прямоугольного треугольника с катетом b и прилежащим к нему острым углом a.
Ответы на вопрос:
а)так как ab//cd, то дуга ас=дуге вd => угол fba=углу dce, как опирающиеся на равные дуги одной окружности.
аналогично доказываем, что угол bfd = углу cea.
точки пересечения хорд назовем м и n (см. рисунок).
треугольники fbm и ecn подобны по двум углам. а так как по условию fm//en и bm//cn, то fb//ce.
б)так как в ромбе все стороны равны и ан = половине ав, ан= половине ad. получается, что в прямоугольном треугольнике adh катет равен половине гипотенузы => < adh = 30 градусов., тогда < dah=60 градусов. противоположные углы ромба равны, значит угол с=60 градусов. угол d + угол b=180 градусов, значит < d = 120 гр. и < b=120гр.
периметр. рассмотрим тр. dab, он равнобедренный и угол а=60 гр., значит углы d и в равны по 60 гр., т. е. треугольник dab равносторонний и его стороны равны по 3,5см.
таким образом da=ab=bc=cd=3,5см. значит периметр равен 3,5*4=14
ответ: 14см.
в)см. рисунок.
оа перпендикулярен ам и ев перпендикулярен ам , значит оа//ев. отсюда следует, что треугольники мао и мве перпендикулярные и они подобны по двум углам (углы аом и вем равны как соответственные). из подобия следует, что ам: вм= ао: ве=3: 1 => ab: вм=2: 1. обозначим ав=2х, вм=1х.
из треугольника евм по теореме пифагора найдем ем. ем²=ев²+вм² => em²=1²+x²=1+x².
таким образом ом= 3+1+ем= 4+кор.из(1+х²)
с другой стороны по теореме пифагора ом²=9+9х² => om= кор.из(9+9х²)
составим уравнение : кор.из(9+9х²)=4+кор.из(1+х²) решая это уравнение, получаем, что х=кор.из3
рассмотрим теперь треугольник вем. так как он прямоугольный, то tg угла вме равен отношению противолежащего катета к прилежащему, т. е. ве: вм=1: кор.из3 => угол вме=30градусов.
угол вме = углу кме (отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.)=> угол вмк=60градусов.
г)обозначим гипотенузу треугольника с. cos a=b/c => c=b/cos a
гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной окружности, значит радиус этой окружности равен с/2=b/(2cos a).
длина окружности равна 2πr= 2*π*b/(2cos a)=(π*b)/cos a
Популярно: Геометрия
-
mako01111126.10.2021 20:09
-
Виктория70819.01.2021 10:33
-
drug20082005Ира23.01.2022 23:15
-
Temok0410.04.2020 03:16
-
Demon21110803.04.2023 08:46
-
зика35606.03.2020 07:00
-
masha137313.03.2023 10:06
-
соня23040329.04.2021 07:29
-
стеффа1126.11.2020 18:06
-
ruslana040415.12.2020 05:39