3. для функции y=2x(в кубе)+6x(квадрат)-5 определить: a. точки экстремума и интервалы монотонности; b. точки перегиба и интервалы выпуклости.

238

437

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

андаин1998

Математика

4,6(98 оценок)

Для нахождения экстремумов найдем производную функции и приравняем ее нулю: y`(x) = 6x^2 + 12x = 0 6x(x+2) = 0, тогда x1 = 0, x2 = -2 - критические точки. найдем вторую производную: y``(x) = 12x + 12 y``(0) = 12 - локальный минимум. y``(-2) = -24 + 12 = -12 - локальный максимум. точки делят числовую прямую на 3 интервала: 1) (-беск; -2) ; 0) 3)(0; +беск) определим интервалы монотонности, подставив значения интервалов в первую производную и определим ее знак: 1)+ 2)- 3)+ б) необходимое условие перегиба - вторая производная равна 0 или не существует: 12x + 12 = 0 x = -1 достаточное условие: вторая производная при переходе через точку меняет знак: очевидно, что когда х < -1, то знак отрицательный, а при x > -1 - положительный. х = -1 - точка перегиба. на интервале (-беск; -1) 2 производная < 0, т.е. функция на нем выпуклая, а на интервале (-1; беск) 2 производная > 0, функция вогнутая.