Диагонали ас и вd трапеции авсd пересекаются в точке о, основание аd=2, вс=3, saob =6. найдите площадь трапеции.

206

260

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

dnmsmd

Математика

4,4(13 оценок)

Проведем через точку о отрезок ек, перпендикулярный основаниям трапеции. треугольники аоd и bоc подобны, т.к. < cad=< acb и < bda=< cbd как накрест лежащие углы при параллельных прямых ad и вс. поэтому высоты этих треугольников относятся как соответствующие стороны: ое/ok=bc/ad, oe=ok*bc/ad. т.к. ек=ок+oe, то ek = ok+ok*bc/ad = ok*(ad+bc)/ad. поскольку треугольники аоd и авd имеют общее основание аd, то их площади относятся как их высоты, т.е. s(aod)/s(abd) = ok/ek = ok/(ok*(ad+bc)/ad) = ad/(ad+bc) => s(aod) = s(abd) * аd/(ad+bc). площадь треугольника abo равна разности площадей треугольников abd и aod: s(abo) = s(abd) - s(aod) = s(abd) - s(abd) * аd/(ad+bc) = s(abd) * bc/(ad+bc). из этого выражения s(abd) = s(abo) * (ad+bc)/bc. площадь треугольника abd также равна половине произведения его основания на высоту: s(abd) = ad*ek/2. приравнивая эти два выражения, получим: ad*ek/2 = s(abo) * (ad+bc)/bc. отсюда высота трапеции ek = s(abo) * 2(ad+bc)/(ad*bc). площадь трапеции abcd равна s(abcd) = (ad+bc)*ek/2 = s(abo) * (ad+bc)^2/(ad*bc), где знак ^ означает возведение в степень. s(abcd) = 6*(2+3)^2/(2*3) = 25.