:около шара описана правильная усеченная четырехугольная пирамида, у которой длины сторон оснований относятся как m/n. определить отноешние объемов пирамиды и шара

171

353

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

annauskova21

Геометрия

4,6(8 оценок)

можно выбрать такую систему единиц измерения длин, что сторона квадрата в нижнем основании усеченной пирамиды равна m, а в верхнем n;

ясно, что высота пирамиды равна диаметру шара h = d;

объем шара vs = (4*π/3)*(d/2)^3 = (π/6)*d^3;

объем усеченной пирамиды равен

v = (h/3)*(s1 + √(s1*s2) + s2) = (d/3)*(m^2 + m*n + n^2);

vs/v = (π/2)*d^2/(m^2 + m*n + n^2);

то есть надо найти высоту пирамиды h = d.

сечение, проходящее через точки касания шара с основаниями и противоположными боковыми гранями - это равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность диаметра h. её основания - это "средние линии" квадратов в основаниях, то есть они равны m и n.

по свойству описанных четырехугольников, суммы противоположных сторон равны, то есть боковая сторона этой трапеции равна (m + n)/2;

если в этой трапеции из вершины меньшего основания опустить высоту, то она отсечет от большего основания отрезок (m - n)/2; (считая от ближайшей вершины, второй отрезок равен (m + n)/2; )

h^2 = ((m + n)/2)^2 - ((m - n)/2)^2 = m*n; осталось подставить.

vs/v = (π/2)*(m*n)/(m^2 + m*n + n^2); это ответ.

если положить p = m/n; то

vs/v = (π/2)*p/(p^2 + p + 1);