Докажите что в любом году найдется пятница приходящаяся на 13-ое число

240

251

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

vingers

Математика

4,8(25 оценок)

Пронумеруем все дни недели числами от 0 до 6. пусть сейчас месяц x, в котором k дней. возьмем произвольный день этого месяца d. пусть он приходится на день недели w. теперь посмотрим на месяц x+1 и рассмотрим день этого месяца d. если в предыдущем месяце было k дней, причем остаток от деления числа k на 7 равен m, то день недели, на который приходится день d в месяце x+1, циклически сместится ровно на m позиций. чтобы было проще понять, пример. пусть рассматривается день недели 4 (пятница) и 13 число августа. в августе 31 день, то есть смещение будет на 31%7=3 дня. в сентябре 13-е число будет уже приходиться не на пятницу, а на понедельник. понедельник имеет индекс 0 - потому что циклически сместили индекс 4 на 3 позиции вправо (4-> 5-> 6-> 0). к чему я веду. рассмотрим все месяцы в году и посмотрим на суммарные сдвиги дней недели после каждого прошедшего месяца. возьмем день d=13 января. пусть он приходится на день недели w. выпишем количество дней для каждого месяца. январь - 31 (смещение 3) февраль - 28(29) (смещение 0(1)) март - 31 (смещение 3) апрель - 30 (смещение 2) май - 31 (смещение 3) июнь - 30 (смещение 2) июль - 31 (смещение 3) август - 31 (смещение 3) сентябрь - 30 (смещение 2) октябрь - 31 (смещение 3) ноябрь - 30 (смещение 2) декабрь - 31 (смещение 3) выпишем список дней недели в каждом месяце, на которые приходится число месяца d. так как это числа от 0 до 6, надо брать по модулю 7 суммарный сдвиг. для невисокосного года: январь - w+0, февраль - w+3, март - w+3, апрель - w+6, май - w+1, июнь - w+4, июль - w+6, август - w+2, сентябрь - w+5, октябрь - w+0, ноябрь - w+3, декабрь - w+5 для високосного года будет так: январь - w+0, февраль - w+3, март - w+4, апрель - w+0, май - w+2, июнь - w+5, июль - w+0, август - w+3, сентябрь - w+6, октябрь - w+1, ноябрь - w+4, декабрь - w+6 в обоих случаях присутствуют все дни недели w+0, w++6. это значит, что в течении года каждое число месяца (числа 30 и 31 не в счет, так как они присутствуют не во всех месяцах) успевает побывать на всех днях недели. как следствие, 13 число хотя бы в одном из месяцев в году будет пятницей.