Докажите, что если биссектриса треугольника является высотой, то треугольник - равнобедренный

146

492

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

milanavornik

Геометрия

4,6(12 оценок)

По второму признаку равенства треугольников: "если сторона и два прилежащих к ней угла в одном треугольнике равны стороне и двум прилежащим к ней углам во втором треугольнике - то такие треугольники равны". нам дано, что bm - биссектриса (на рисунке) , значит угол abm равен углу cbm по определению биссектрисы она же есть высота. по определению высоты bm перпендикулярна ac, значит углы amb и cmb равны между собой (каждый по 90 градусов) а также сторона bm - общая для треугольников abm и cbm, значит эти два треугольника равны по 2-му признаку равенства треугольников. в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны (и наоборот) . прямые углы amb и cmb равны, значит и стороны, лежащие против них ab и cb. по определению, треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. утверждение доказано.

nbatagova2005

Геометрия

4,8(80 оценок)

Раз в трапецию можно вписать окружность, то суммы противоположных её сторон равны. bc = cm = lb = bn и bs = sa = an = nd = dg, т.к трапеция равнобоковая и отрезки касательных, проведённые из одной точки равны. опустим два перпендикуляра к большему основанию ad. обозначим их за be т fc. внутри трапеции образовался прямоугольник befc => bc = ef = 2m. тогда ae + fd = 2n - 2m. ab = cd be = cf угол aeb = углу dfc = 90° значит, треугольник равны по катеты и гипотенузе. из равенства треугольников => ae = fd. значит, ae = fd = 1/2(ae + fd) = 1/2•(2n - 2m) = n - m. по теореме пифагора: be = √(m + n)² - (n - m)² = √m² + 2mn + n² - n² + 2mn - m² = √4mn = 2√mn. значит, высота трапеции равна 2√mn. площадь s трапеции равна: s = 1/2(bc + ad)•eb s = (m + n)•2√mn.