Наименьшее общее кратное натуральных чисел a, b, c и d равно a +b + c + d. докажите, что abcd делится на 3 или на 5 (или на то и другое).

171

455

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Salsa13

Математика

4,5(5 оценок)

Можно считать, что a < = b < = c < = d. т.к. a + b + c + d - нок, то должно делиться на d и быть больше d. a + b + c + d < = 4d, значит, 2d, 3d или 4d. 1) если a + b + c + d = 4d, то a = b = c = d, но тогда нок был бы равен d, а не 4d. значит, этот случай не выполняется. 2) если a + b + c + d = 3d, то хотя бы одно из чисел a, b, c, d делится на 3 (т.к. нок делится на 3). 3) если a + b + c + d = 2d, то a + b + c = d и 2(a + b + c) = нок(a, b, c, d). аналогично, нок должен делиться на c и быть больше 2c, значит 2c < 2(a + b + c) < = 6c, и 2(a + b + c) = 3c, 4c, 5c или 6с. - если 3с, 5с или 6с - всё ок, хотя бы одно из чисел делится на 3 (в первом или третьем случае) или на 5 (во втором). - если 2(a + b + c) = 4c, то a + b = c, и нок = 4(a + b) = 4a + 4b - должно делиться на b. значит, 4a делится на b, 4a = b, 2b. 3b, 4b. остался последний перебор: * если 4a = b, то нок(a, b, c, d) = нок(a, b, a + b, 2(a + b)) = нок(a, 4a, 5a, 10a) делится на 5, значит, произведение делится на 5. * если 4a = 2b, 2a = b, то есть делимость на 3, т.к. c = 3a * если 4a = 3b, то a делится на 3 * если 4a = 4b, a = b, то нок = нок(a, a, 2a, 4a) = 4a, а не a + a + 2a + 4a = 8a. все случаи разобраны, и в каждом возможном случае произведение делится на 3 или 5.

DanilkaMare

Математика

4,7(90 оценок)

Нод и нок чисел 42, 60 и 70 42(2,3,7,1) 60(2,2,3,5,1) 70(2,5,7,1)нод = 2 нок = 70*2*3=420 18,63 и 35 18(2,3,3,1) 63(3,3,7,1) 35(5,7,1) нод = 1 нок = 63*5*2=630