Может ли у каждого из учащихся в классе быть ровно трое друзей в этом классе, если в классе: 1) 25 учащихся; 2) 18 учащихся?

110

409

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

opakp9726

Алгебра

4,6(10 оценок)

Обозначим учеников точками на плоскости, а дружеские связи отрезками, соединяющими эти точки. пусть в классе n учеников. т.к. из каждой точки выходит ровно 3 отрезка и каждый отрезок связывает 2 точки, то количество отрезков равно 3n/2. 1) если n=25, то 3*25/2 не является целым числом, поэтому в классе не могло быть 25 учеников. 2) если n=18, то 3*18/2=27. т.е. должно быть 27 отрезков. но это еще не доказывает, что 18 точек можно связать 27 отрезками так, что из каждой точки выходит ровно 3 отрезка, поэтому предъявим такое расположение. поместим точки в вершинах выпуклого 18 угольника, пронумеруем их по порядку от 1 до 18, и нарисуем стороны этого 18-угольника. в результате, каждая его вершина будет связана с двумя соседними, т.е. из каждой вершины выходит ровно 2 отрезка. осталось соединить вершины 9 диагоналями так, чтобы из каждой вершины выходила ровно одна диагональ. т.к. количество точек четное, то это возможно: например соединяем точки так: [1,10], [2,11], [3, [9,18]. видим, что это действительно дает диагонали, т.к. в каждой паре разница между номерами не равна 1. при этом каждая вершина участвует по одному разу. понятно, что это работает и для любого четного n.