Вправильной треугольной призме abca1b1c1 сторона основания ab=2корня из 3, а боковое ребро aa1=4. найдите угол между прямой ab1 и плоскостью bca1.

123

218

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

solnyshko46

Математика

4,5(28 оценок)

смотрите, как это просто. прямая ав1 пересекает плоскость вса1 в центре боковой грани аа1в1в - то есть просто в точке пересечения диагоналей боковой грани - самой ав1 и а1в, которая лежит в плоскости вса1.

пусть это точка е, найти длину ае проще простого (все вычисления - потом).

поэтому всё, что нам надо, это придумать, как опустить перпендикуляр из точки а на плоскость вса1, и найти его длину (то есть расстояние от точки а до этой плоскости).

сразу понятно, что этот перпендикуляр должен "идти посередине" граней - из за симметрии правильной призмы.

строго это формулируется так - проведем сечение призмы через боковое ребро аа1 и ак, где к - середина вс. ясно, что вс перпендикулярно ак - в основании лежит правильный треугольник. отсюда следует, что плоскости аа1к и а1вс перпендикулярны - дело в том, что если в одной плоскости есть хотя бы одна прямая, перпендикулярная другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны друг другу (это - самый важный момент в решении такого типа). ну, а отсюда следует, что нужный нам перпендикуляр лежит в плоскости аа1к.

построенное сечение - прямоугольник, и прямая а1к принадлежит как сечению, так и плоскости вса1. если теперь в треугольнике аа1к из точки а провести перпендикуляр к а1к, то он будет перпендикулярен всей плоскости вса1, поскольку, кроме а1к, он перпендикулярен еще и вс.

ак = 3 (боковая сторона треугольника 2√3, высота 2√3*√3/2 = 3), то есть треугольник аа1к - "египетский" 3,4,5. это вычисления - высота ан к гипотенузе а1к равна 3*4/5 = 2,4. это и есть расстояние от а до плоскости вса1. ан = 2,4.

а длина наклонной ае равна половине диагонали боковой грани - прямоугольника со сторонами 4 и 2√3. легко вычислить, что это √7 (ну посчитайте : ) по теореме пифагора).

синус искомого угла аен равен 2,4/√7 = 12/(5√7).

я конечно мог что-то не так сосчитать - проверьте : )