Математика: Найдите область определения выражения √(х-3)(х-5)+√(1-х)(7-х)

Verabogomaz

14.02.2023 03:29

Математика

Есть ответ 👍

Найдите область определения выражения √(х-3)(х-5)+√(1-х)(7-х)

108

368

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Простокнигоманка

Математика

4,8(59 оценок)

Такие решаются довольно нудно. область определения - это область допустимых значений аргумента. в нашем случае под корнем не должно быть отрицательного числа. другими словами, оба подкоренных произведения должны быть больше или равны нулю: (х-3)(х-5) ≥ 0 (1-х)(7-х) ≥ 0 это система неравенств. решаем их. удобно то, что левые части (квадратные трехчлены) представлены в виде произведений. нет необходимости искать корни квадратных трехчленов. 1. (х-3)(х-5) ≥ 0 решаем методом интервалов. корни х1 и х2 равны 3 и 5. отмечаем корни на оси х. получаем 3 интервала. + - + ⊕⊕> 3 5 х на самом правом интервале трехчлен будет положительным (очевидно, что при любых х > 5 трехчлен положительный), а в остальных интервалах знак трехчлена будет меняться при прохождении границы между интервалами. в качестве решения мы берем интервалы, где трехчлен положителен. а поскольку неравенства нестрогие, интервалы берем вместе с их границами (с самими корнями), где трехчлен обращается в нуль. поэтому на чертеже точки не "пустые" (о), а "зачерненные" (⊕) x∈ (-∞, 3] ∪ [5, ∞) 2. (1-х)(7-х) ≥ 0 корни х1 и х2 равны 1 и 7. отмечаем корни на оси х. получаем 3 интервала. + - + ⊕⊕> 1 7 х на самом правом интервале трехчлен положителен (очевидно, что при любых х > 7 оба сомножителя отрицательны, но их произведение положительно), а в остальных интервалах знак трехчлена будет меняться при прохождении границы между интервалами. в качестве решения мы берем интервалы, где трехчлен положителен. а поскольку неравенства нестрогие, интервалы берем вместе с их границами (с самими корнями), где трехчлен обращается в нуль. поэтому на чертеже точки не "пустые" (о), а "зачерненные" (⊕) x∈ (-∞, 1] ∪ [7, ∞) 3. теперь нам нужно объединить оба решения, поскольку нужно, чтобы оба корня извлекались из неотрицательного числа. это проще сделать на координатной оси. отмечаем оба множества на оси с штриховки: x∈ (-∞, 3] ∪ [5, ∞) - штриховка \\\\\ (над осью) x∈ (-∞, 1] ∪ [7, ∞) - штриховка /////// (под осью) \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ ⊕⊕⊕⊕> 1 3 5 7 х ////////// ///////////////// наглядно видно, что оба условия выполняются там, где штриховки , налагаются друг на друга. получаем х ∈ (-∞, 1] ∪ [7, ∞) это и будет ответ.